似水流年 | 线性代数知识大纲

线代你也太难了wwwwwwww

基本信息

授课教师： dz
上课教材： 《线性代数》（hzd版）
教辅资料： MIT-线性代数

 

部分回忆题

1. $if\ \forall k\in\Bbb{Z}^{+},\begin{vmatrix}kE+A&B\\ C&D\end{vmatrix}=0.proof:|D|=0 $

2. $if\ A\in\Bbb{R}^{n\times n},A>0,\alpha,\beta\in\Bbb{R}^n.proof:(\alpha^T\beta)^2\le\alpha^TA\alpha\cdot\beta^TA^{-1}\beta$

3. $if\ A\in\Bbb{R}^{n\times n},A=A^T,\forall i=1,2,...,n,\displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}=0.proof:\exist a\in\Bbb{R},s.t.\ A^*=aJ=a\begin{pmatrix}1&1&...&1\\\\1&1&...&1\\\\\vdots&\vdots&\ &\vdots\\\\1&1&...&1\end{pmatrix}_n$

 

MISC

$|\lambda E_n-A_{n\times m}B_{m\times n}|=\lambda^{n-m}|\lambda E_m-B_{m\times n}A_{n\times m}|$

$||x||=\sqrt{(x,x)}=x^Tx$

$A^TA\ge 0,if\ tr(A^TA)=0,then\ \lambda(A)=0$

$\forall X\in\Bbb{P}^{n\times n}, X=P(E_r\ O)(E_r O)^TQ$

$if\ -A=A^T,then\ \lambda(A)=0\ or\ ki,(k\in\Bbb{R})$

$[知乎 | 八大类型行列式及其解法](https://zhuanlan.zhihu.com/p/34685081)$

 

第 1 章 线性方程组的求解

定理

• $\overline{A}与A化成行最简后有相同的非零行（即相同的秩r）\hArr 线性方程组有解$
• $\overline{A}与A化成行最简后有不同的非零行（即相同的秩r）\hArr 线性方程组无解$

推论
对于齐次线性方程组，$c_1 = c_2 = ... =c_n$

• 一定有解 $x_1 = x_2 =...= x_n = 0$
• $r<n \hArr 有无穷解 \hArr 有非零解$
• $r=n \hArr 解是唯一的 \hArr 无非零解$

 

第 2 章 行列式与矩阵的秩

n-排列

一次对换改变n-排列的奇偶性

$\tau(i_1i_2...i_n) + \tau(i_ni_{n-1}...i_1) = \frac{n(n-1)}{2}$

$ \footnotesize{P.S.可以用于说明冒泡等排序的时间复杂度} $

方阵的行列式

$\det{A} = \displaystyle\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}, 其中A=(a_{ij})_{n\times n}$
$ \footnotesize{P.S.i,j互换位置依然成立} $
解释：对列的每个n-排列都求积，最后求和

行列式的来源 | Cramer法则：求解线性方程组的解时，满足$x_i = \frac{D_i}{D}$

n阶行列式的性质

• 展开后有n项
• 每项都有n个元素，且没有两个元素的行或列是重复的
• 奇排列的项为负，偶排列的项为正

特殊n阶行列式计算

• $D_{主对角线三角} = a_1a_2...a_n$
• $D_{副对角线三角} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_1a_2...a_n$

$$\displaystyle\sum_{k=1}^na_{ik}A_{jk} = \begin{cases}|A|,&\text{if }i = j \\\\ 0,&\text{if }i\ne j \end{cases}\space\space 1 \le i, j \le n(n \gt 1)$$

即，某一行元素向量乘以本行代数余子式向量等于行列式；乘以其他行代数余子式向量等于零

Vandermonde行列式

$$D_n = \begin{vmatrix}1&1&...&1\\\\x_1&x_2&...&x_n\\\\x_1^2&x_2^2&...&x_n^2\\\\ \vdots&\vdots&\space&\vdots\\\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_n^{n-1}\end{vmatrix} =\displaystyle\prod_{1\le i\le j \le n}(x_j - x_i)$$

$\footnotesize{Proof.逐行相减，展开得递推式}$

Cramer法则

定理 当且仅当线性方程组系数行列式不为0时，有且仅有唯一解

$$且x_j = \frac{D_j}{D},\space\space j=1,2,...,n$$

其中$D_j$表示D中第j个列向量被系数向量取代后的行列式

Laplace定理

$$|A| = \displaystyle\sum_{1\le j_1\lt j_2\lt ... \lt j_k\le n}D\begin{pmatrix}j_1\space j_2...j_k\\\\i_1\space i_2...i_k\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}j_1\space j_2...j_k\\\\ i_1\space i_2...i_k\end{pmatrix}$$

即，行列式等于将行列式按某几行/列展开后行列式与代数余子式的积的和
$eg.\begin{vmatrix}O_{s\times t}&A_{s\times s}\\\\ B_{t\times t}&C_{t\times s}\end{vmatrix} = (-1)^{st}|A||B|$

初等变换(行/列交换,倍乘以及倍加)不改变矩阵的秩

等价关系

• 自反性 $A\stackrel{R}{\backsim}A$
• 对称性 $A\stackrel{R}{\backsim}B \hArr B\stackrel{R}{\backsim}A$
• 传递性 $A\stackrel{R}{\backsim}B, B\stackrel{R}{\backsim}C \hArr A\stackrel{R}{\backsim}C$

秩相同的矩阵之间的关系为相抵等价关系
$当r(A)=r时，\begin{pmatrix}E_r&O\\\\O&O\end{pmatrix}为A的等价标准形$

 

第 3 章 矩阵的运算

$若A是n阶方阵，则|cA| = c^n|A|$

$A_{s\times t}B_{t\times u} = C_{s\times u}$
即，目标矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数

重要定理

• $|A||B| = |AB|$

• $(AB)^T = B^TA^T$

矩阵的逆

$设A是n阶方阵，则\space A可逆\hArr|A|\ne 0 \hArr r(A) = n$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$

$$A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&...&A_{n1}\\\\ A_{12}&A_{22}&...&A_{n2}\\\\ \vdots & \vdots & \space &\vdots \\\\ A_{1n}&A_{2n}&...&A_{nn} \end{pmatrix}$$

$即A^{-1}对a_{ij}求代数余子式$

矩阵初等变换与矩阵乘法的联系

定理 对矩阵进行初等变换等价于矩阵乘以该初等变换对应的初等矩阵

矩阵求逆

$$\begin{pmatrix}A\space\vdots\space E\end{pmatrix}\xrightarrow{仅有限次初等行变换}\begin{pmatrix}E\space\vdots\space A^{-1}\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}&A&\\\\&...&\\\\&E&\end{pmatrix}\xrightarrow{仅有限次初等列变换}\begin{pmatrix}&E&\\\\&...&\\\\&A^{-1}&\end{pmatrix}$$

矩阵运算对秩的影响

• 乘以可逆矩阵，秩不变
• $r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\}$
• $r(C) = r(A) + r(B),\space C = \begin{pmatrix}O&A\\\\B&O\end{pmatrix}$
• $r(A+B)\le r(A)+r(B)$
• $Sylvester不等式\space r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$
• $Frobenius不等式\space r(ABC)\ge r(AB)+r(BC)-r(B)$

二级结论

• $|A^*| = |A|^{n-1}$
• $(A^*)^* = |A|^{n-2}A$
• $A^2=E_n \hArr r(A+E_n)=r(A-E_n)=n$

 

第 7 章 线性空间

线性空间

$若P为数域，V为线性空间，则V上定义了V\times V\rightarrow V的加法和P \times V\rightarrow V的乘法，对\forall\alpha,\beta\in V$

• $\alpha +\beta = \beta + \alpha$
• $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$
• $\exist\theta\in V,\alpha+\theta=\alpha$
• $\exist\epsilon\in V,\alpha+\epsilon=\theta$
• $1\alpha=\alpha$
• $(c_1c_2)\alpha=c_1(c_2\alpha)$
• $(c_1+c_2)\alpha=c_1\alpha+c_2\alpha$
• $c(\alpha+\beta)=c\alpha+c\beta$

向量组的线性关系

$称c_1\alpha _1+c_2\alpha _2+...+c_s\alpha _s为向量组\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}的一个线性组合$

• $设向量组\{\beta,\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}，若有\beta = c_1\alpha _1+c_2\alpha _2+...+c_s\alpha _s=\begin{pmatrix}\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\\\ c_2\\\\\vdots\\\\ c_s\end{pmatrix}，则称\beta可由\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}线性表出（与c_i是不是0无关）$
• 即非平凡的线性组合成为线性表出

$若存在不全为零的c，使得\begin{pmatrix}\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\\\ c_2\\\\\vdots\\\\ c_s\end{pmatrix}=\theta，则称\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}线性相关，令A=(\alpha_1\ \alpha_2\ ...\ \alpha_s)$

• $\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}线性相关\hArr\exist\alpha _i可由其余s-1个向量表示\hArr r(A)<n$
• $\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}线性无关\hArr\forall\alpha _i不可由其余s-1个向量表示\hArr r(A)= n$
• $若\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}线性无关，但是\{\beta,\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}线性相关，则\beta可由\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}线性表出，且表出形式唯一$

向量组的线性表示及等价

• $两个向量组(I)(II)，若(I)中的任何一个向量均可由(II)中有限个向量线性表出，则称(I)可由(II)线性表出$
• $(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t)M_{t\times s}$
• $若(I)=\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}，(II)=\{\beta _1,\beta _2,...,\beta _t\}，(I)可由(II)线性表出且s>t，则\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}线性相关$
• $若\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}可由\{\beta _1,\beta _2,...,\beta _t\}线性表出且\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s\}线性无关，则s\le t$
• $向量组的线性相关称为等价$

极大线性无关组与向量组的秩

• 阶梯头所在的列(即主列)所对应的原向量为一个极大线性无关组
• 向量组的秩等于其极大线性无关组向量个数

维数 基 坐标

• $\dim V = n，其中n为V的极大线性无关组的向量个数，也就是V的秩，极大线性无关组为一组基$
• $设\eta_1,\eta_2,..,\eta_n为V\in P^n的一组基，则(\eta_1\ \eta_2\ ...\ \eta_n)可逆\hArr\forall\Eta\in P_{n\times n}，r(\Eta)=n，则\Eta的列向量是P^n的一组基$
• $\forall\alpha\in V, \exist X\in P^n, 使得\alpha=(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n)X,其中X成为\alpha在基\{\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n\}下的坐标$
• $A的维数即是主列的个数\hArr r(A)\hArr A的基的数量$
• 主行数与主列数相等，都等于秩

基之间的过渡矩阵 坐标变换

• $对于两组基，由于等价，有(\beta _1,\beta _2,...,\beta _n)=(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n)M，其中M称为过渡矩阵，且M可逆，M^{-1}为\beta到\alpha的过渡矩阵$
• $设\alpha\in V在上述两组基下的坐标分别是X_{n\times 1}，Y_{n\times 1}，则Y=M^{-1}X$

子空间

• $\theta与V是V的平凡子空间$
• $若W是V的子空间，则W对V的加法和数乘封闭$
• $若\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\}是V的一组子向量，定义其扩张的子空间L(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=\{c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+...+c_s\alpha_s|c_i\in P,i=1,2,...,s\}，则L是V的子空间，\dim L=r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)$
• 基即是能扩张出V的向量个数最少的向量组

向量组线性相关与向量坐标的关系

$设(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)是n维空间V的一组基，V中的向量\beta _1,\beta _2,...,\beta _s,\beta在所给基下的坐标分别为A_1,A_2,...,A_s,Y\in P^n，令A=(A_1\ A_2\ ...\ A_s)，则$

• $\beta可由\beta _1,\beta _2,...,\beta _s线性表出\hArr 线性方程组AX=Y有解$
• $ \beta _1,\beta _2,…,\beta _s线性相关\hArr A_1,A_2,…,A_s线性相关$
• $ \beta _1,\beta _2,…,\beta _s线性无关\hArr A_1,A_2,…,A_s线性无关$
• $ r(\beta _1\beta _2…\beta _s)=r(A_1A_2…A_s)$
• 坐标的线性关系可以映射到向量的线性关系

$设\beta _1,\beta _2,...,\beta _s,\beta与\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_t是V的两个向量组，又已知A_1,A_2,...,A_s,Y\in P^t，且A=(A_1\ A_2\ ...\ A_s)。若\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_t线性无关且(\beta _1\ \beta _2\ ...\ \beta _s\ \beta)=(\alpha_1\ \alpha_2\ ...\ \alpha_t)(A_1\ A_2\ ...\ A_s\ Y)$

• $\beta可由\beta _1,\beta _2,...,\beta _s线性表出\hArr 线性方程组AX=Y有解$
• $ \beta _1,\beta _2,…,\beta _s线性相关\hArr A_1,A_2,…,A_s线性相关$
• $ \beta _1,\beta _2,…,\beta _s线性无关\hArr A_1,A_2,…,A_s线性无关$
• $ r(\beta _1\beta _2…\beta _s)=r(A_1A_2…A_s)=r(A)$
• 即上述关系可以映射到任意由线性表出对应的两个向量组

 

第 4 章 n元向量空间

第 4 章前半部分（4.1~4.7均为第 7 章对应部分的特殊情况，因此可联系复习）

线性方程组解的结构

$假定线性方程组的一般形式为：AX=b，其中A\in P^{m\times n},b\in P^m,X\in P^n,r(A) = r,A的每一列均不等于\theta$

$若b=O，即齐次线性方程组，有$

• $齐次线性方程组的解的线性组合（解空间W_0）仍是解$
• $\dim W_0=n-r=n-r(A)\le n$
• $W_0的任意一个极大线性无关组，称为基础解系，W_0即可认为是基础解系扩张而成的线性空间$
• $X=t_1\eta_1+t_2\eta_2+...+t_{n-r}\eta_{n-r}，其中\eta为求解后得到的每一个列向量，即基础解系$
• 秩越大，解空间维数越小，理解为有序的系数矩阵不需要过多的未知数

$若b\ne O，即非齐次线性方程组，有$

• $称AX=O为AX=b的导出组，W_0为导出组的解空间，\eta_1,\eta_2,...,\eta_{n-r}为一组基础解系，\eta_0为AX=b的任一特解，则X=\eta_0+t_1\eta_1+t_2\eta_2+...+t_{n-r}\eta_{n-r}$
• 求解非齐次线性方程组时，先求解同型的齐次线性方程组，再加上特解

 

第 8 章 欧氏空间

欧氏空间的定义

$对于线性空间V,定义二元函数内积(\alpha,\beta):V\times V\rightarrow R,同时满足以下条件,称为欧氏空间$

• $(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$
• $k(\alpha,\beta)=(k\alpha,\beta)$
• $(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha+\gamma)+(\beta,\gamma)$
• $\forall\alpha:(\alpha,\alpha)\ge0,等号成立当且仅当\alpha=0$

$内积\stackrel{def}{=}(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n\in P$

• $若\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n是欧氏空间R^n的一组基，X，Y分别是\alpha和\beta的坐标，则度量矩阵\stackrel{def}{=}M=\begin{pmatrix}\varepsilon_1^T\varepsilon_1&\varepsilon_1^T\varepsilon_2&...&\varepsilon_1^T\varepsilon_n\\\\\varepsilon_2^T\varepsilon_1&\varepsilon_2^T\varepsilon_2&...&\varepsilon_2^T\varepsilon_n\\\\\vdots&\vdots&\ &\vdots\\\\\varepsilon_n^T\varepsilon_1&\varepsilon_n^T\varepsilon_2&...&\varepsilon_n^T\varepsilon_n&\end{pmatrix}，则(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta=X^TMY$

$长度\stackrel{def}{=}|\alpha|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}$

• $Cauthy-Schwaz不等式\ \ |(\alpha,\beta)|\le|\alpha||\beta|，当且仅当\alpha与\beta线性相关时等号成立$
• $<\alpha,\beta>=\arccos\displaystyle\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|}$

$Schmidt正交化过程\begin{cases}\beta_1=\alpha_1,\\\\\beta_k=\alpha_k-\displaystyle\sum_{j=1}^{k-1}\frac{(\alpha_k,\beta_j)}{(\beta_j,\beta_j)}\beta_j\end{cases}，其中\alpha_i为线性无关向量组$

• $若s=n，则\alpha_i为基，\beta_i为正交基，\frac{1}{|\beta_i|}\beta_i为标准正交基$
• $M可逆\iff\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n线性无关$

$设U\in R^{n\times n}，若U^TU=UU^T=E，则称U是正交矩阵$

• $U=(\alpha_1\ \alpha_2\ ...\ \alpha_n)，则\alpha_1\ \alpha_2\ ...\ \alpha_t是标准正交基\hArr U是正交矩阵\Rightarrow U^{-1}=U^T$

将r个线性无关的向量扩张成一组n个的基

• 取极大线性无关组
• 再极大线性无关组用行向量的形式化成行阶梯
• 行阶梯所在列置0，其它分别取1，得到的向量组即是基

 

第 5 章 矩阵的特征值理论与相似对角化

矩阵的相似
$if \ \exist可逆P,s.t.P^{-1}A=B，则称AB相似，以下说法等价：$

• $A与对角阵\Lambda=(\lambda_i)_{n\times n}=\begin{pmatrix}\lambda_1&\ &\ &\ \\\\\ &\lambda_2&\ &\ \\\\\ &\ &\ddots&\ \\\\\ &\ &\ &\lambda_n\end{pmatrix}(\lambda_i\in P)相似/A可以对角化$
• $\exist可逆P,s.t.P^{-1}AP=\Lambda$
• $\exist n个线性无关的向量组\varepsilon_i,s.t.A(\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n)=,s.t.(\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n)\Lambda$
• $\exist n个线性无关的向量组\varepsilon_i,s.t.(A\varepsilon_1,A\varepsilon_2,...,A\varepsilon_n)=(\lambda_1\varepsilon_1,\lambda_2\varepsilon_2,...,\lambda_n\varepsilon_n)$
• $\exist n个线性无关的向量组\varepsilon_i,s.t.A\varepsilon_i=\lambda_i\varepsilon_i,1\le i\le n$
• $A存在n个线性无关的特征向量$
• $A有n个不同的特征值$
• $r_1+r_2+...+r_s=n$

不是所有的A都可以对角化

对角阵的来源:

$当A可以对角化, A有n个线性无关的特征向量, 组成可逆矩阵P=(\xi_1\xi_2...\xi_n),\ AP=A(\xi_1\xi_2...\xi_n)=(\lambda_1\xi_1\ \lambda_2\xi_2...\lambda_n\xi_n)=(\xi_1\xi_2...\xi_n)\begin{pmatrix}\lambda_1&\ &\ &\ \\\\\ &\lambda_2&\ &\ \\\\\ &\ &\ddots&\ \\\\\ &\ &\ &\lambda_n\end{pmatrix}=P\Lambda\iff P^{-1}AP=\Lambda$

定义及计算

$对于A\in P^{n\times n},if\ \exist\lambda_0\in P,\xi\ne\theta\in P^n,s.t.A\xi=\lambda_0\xi,则称\lambda_0是A在P中的特征值，反过来，称\xi是\lambda_0的特征向量$

• 一个特征向量只能属于一个特征值，但是特征值可以属于无穷多个特征向量
• $if\ \lambda=0,\ \xi=\forall\alpha\in P^{n\times1}$
• $\lambda_0\in P是A的特征值\iff(\lambda_0 E-A)\xi=\theta_{n\times 1},即齐次线性方程组有非零解\iff|\lambda_0E-A|=0\iff r(\lambda_0 E-A)<n$

$称|\lambda E－A|(\lambda\in P)为A特征多项式,记作f_A(\lambda)\backsim f(\lambda),则|\lambda E－A|=f(\lambda)=0称作特征方程$

• $\lambda_0是A的特征值\iff f(\lambda_0)=0$
• $f(\lambda)=0的所有根，即是A的所有特征值（重根按重数计，因此我们说A有n个特征值）$
• $设A有s个互不相同的特征值，第i个特征值的重数为n_i，则f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}...(\lambda-\lambda_s)^{n_s}$

$\xi\in P^n是A的属于特征值\lambda_0的特征向量\iff\xi是齐次线性方程组(\lambda_0E－A)X＝O的非零解向量$

• $求出f(\lambda)=0的所有互异根\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_s(1\le s\le n)$
• $针对每一个\lambda_i求出线性特征方程的通解X^i=k_1\eta_1^i+k_2\eta_2^i+...+k_{n-r_i}\eta_{n-r_i}^i,\ \dim W_{\lambda_i}=r_i=r(\lambda_iE-A),其中W_{\lambda_i}为\lambda_i的解空间$
• $\xi_i=k_1\eta_1^i+k_2\eta_2^i+...+k_{n-r_i}\eta_{n-r_i}^i,\ t_1,t_2,...,t_{n-r_i}\in P且不全为0$

基本性质

$A的不同特征值的特征向量线性无关，即A\xi_i=\lambda_i\xi_i\Rightarrow\{\xi_1,\xi_2,...,\xi_s\}线性无关$

• $证明x_1\xi_1+x_2\xi_2+...+x_s\xi_s=\theta只有非零解时，技巧：可以左乘A以出现特征方程$
• $推广：所有不同特征值的特征向量组成的向量组线性无关，其子向量组也线性无关$

$|A|=\displaystyle\prod_{i=1}^n\lambda_i,\ tr(A)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i$

矩阵的相似对角化

$k是A的k重特征值，(\lambda E-A)\xi=0,\dim W_\lambda=n-r(\lambda E-A)\le k$

$对于一个不确定是否是可对角化阵，当\lambda是单根的时候，一定满足上述条件，因此无需判断单根；当\lambda是重根的时候，要判断r=n$

$判断是否可以对角化：$

• $求特征值|\lambda E_n-A|=0，得到重根和非重根$
• $对于重根\lambda，判断其解空间的维数是否小于等于自己的重数\dim W_\lambda=n-(\lambda E-A)\le k$

$r(A)=1\iff A=\alpha\beta^T，其中\alpha,\beta是列向量$

相似理论

$A有n个特征值\lambda_i$

• $f(\lambda)=|\lambda E_n-A|=...=(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})...(\lambda-a_{nn})=\lambda^n-(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\lambda^{n-1}+...+)(-1)^n|A|$

• $f(A)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)...(\lambda-\lambda_n)$

Hamiltonn-Cayley定理

$f(\lambda)=|\lambda E_n-A|\Rightarrow f(A)=O_{n\times n}$

$A\xi=\lambda\xi\Rightarrow A^k\xi=\lambda^k\xi（数学归纳法）$

$设A的特征值的集合为sp(A)=\{\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_n\}$

• $\{g(\lambda)|\lambda\in g(A)\}=sp(g(A))$

$A^{-1}\xi=\displaystyle\frac{1}{\lambda}\xi$

$A,B相似\Rightarrow r(A)=r(B),|A|=|B|,tr(A)=tr(B),|\lambda E-A｜=|\lambda E-B|,特征值相同$

$若A，B可对角化，则A，B相似\iff A，B有相同的特征值$

$A,B相似\Rightarrow g(A),g(B)相似$

$已知A，求方阵A^{1000}$

• 计算特征值
• 验证可对角化
• $求出P,P^{-1}$
• $PA^{1000}P^{-1}=\Lambda^{1000}$
• 遇事不决，先求对角阵（bushi）

实对称矩阵

共轭：将A转置后，对每个元素取共轭

$实对称矩阵A的特征值都是实数$

$实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交$

$求实对称矩阵A的正交阵$

• $|\lambda E-A|=0\Rightarrow \lambda_i$
• $验证\lambda_i,(\lambda_iE-A)\xi=0,\dim W_i=r_i\le k,求出\xi_i$
• $r_i=1, \xi_i单位化;r_i>1, Schmidt正交化\Rightarrow\beta_i$
• $U=(\beta_1\beta_2...\beta_n)$

 

矩阵的分解

• 可逆矩阵的三角分解

$设A是n阶可逆矩阵，则A可以唯一的分解为A=U_1C_{上三角}或A=C_{下三角}U_2, 其中U为正交矩阵，C的对角线元素均为正数$

$证明：对A进行列向量分组，施密特正交化得到A=(\eta_i)C, 其中c_{ii}=|\beta_i|>0$

• 任意矩阵的三角分解

$设A\in P^{m\times n},则A可以唯一的分解为A=(L\ O)U_1,A=U_2(R\ O)^T$

• 矩阵的满秩分解

$设A\in P^{m\times n},r(A)=r,\exists B\in P^{m\times r},r(B)=r,C\in P^{r\times n},r(C)=r,s.t.A=BC$

矩阵的满秩分解不唯一。我们一般选取阶梯矩阵主元所在列对应的列向量作为B，选取非零行向量作为C

• 矩阵的奇异值分解

$r(A)=r(AA^T)=r(A^TA)$

$AA^T与A^TA均是半正定的对称阵，且特征值\lambda_i=\mu_i,奇异值\delta_i=\sqrt{\lambda_i}\ge0$

$设A\in P^{m\times n},r(A)=r,\delta_1\ge\delta_2\ge...\ge\delta_r,\exists U_1\in P^{m\times m},U_2\in P^{n\times n},s.t. U_1^TAU_2=\Delta$

$A=U_1\Delta U_2^T$

• 方阵的极分解

$设A为n阶可逆方阵，则A可以唯一的分解为A=U_1S_1或A=S_2U_2, 其中U是正交矩阵，S是正定矩阵$

若A不可逆，则S为半正定阵

证明：利用A的奇异值分解

 

第 6 章 二次型

定义

$f(x_1x_2..x_n) = a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+...2a_{nn}x_n^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^na_{ii}x_i^2+2\sum_{1\le i<j\le }a_{ij}x_ix_j$

称以下操作为线性变换

$x_i=c_{i1}y_1+c_{i2}y_2+...+c_{in}y_n$

$我们只考虑|C|\ne 0,\ C =( c_{ij})_{n\times n}的变换矩阵$

找到一个线性变换，使得代入原式之后，不存在交叉项，我们称为标准型

$f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+...+d_ny_n^2$

 

二次型的矩阵形式与矩阵的合同

$找到一个非退化的线性变换X_{n\times 1}=CY_{n\times 1}，使得二次型f\rightarrow d_1y_1^2+d_2y_2^2+...+d_ny_n^2$

$f=X^TAX=Y^TC^TACY=Y^TDY$

• $其中A是一个对称阵,A=(a_{ij})_{n\times n},其中a _{ji} = a _{ij}(j>i)$

• $D是一个对角阵, D=(d_{i})_{n\times n}$

• $\phi :f\rightarrow A是双射$

由于f和A一一对应，这一章所有的结论，都有二次型语言和矩阵语言

 

配方法

二次型一定能由非退化线性变换化作标准型

主元法

• $先将x_1作为主元整理配方，再考虑有平方项的主元$

没有平方项的做法

• $先构建非退化的线性变换X=C_1Y，代入产生平方项（C_1不唯一）$
• $再按主元法处理y的二次型，得到标准化矩阵Y=C_2Z$
• $代入得X=(C_1C_2)Z$

 

对称阵与二次型的转化

$f=X^TAX=X^TBX\Rightarrow A=B$
$f=X^TAX为标准型\iff A=\Lambda$

$\forall 对称阵A,\ \exists可逆阵C,\ s.t.C^TAC=D$

• $把A复原到二次型f(x_1x_2...x_n)后标准化$
• $标准化矩阵C即是所求矩阵$

对称阵问题可以转化为二次型问题

$U为正交阵$

• $\forall 实对称矩阵A, \exists U,s.t.U^{-1}AU=\Lambda=(\lambda_i)_{n\times n}$

• $\forall 实二次型f, \exists X=UY,s.t.f=\displaystyle\sum\lambda_iy_i^2，(\lambda_i为特征值)$

因此解决二次型的问题可以使用前几章的方法，只要能用就行

 

相似，等价和合同

若A，B：

• $相似：P^{-1}AP=B$
• $等价：PAQ=B$
• $合同：C^TAC=B$

 

规范型

$f=X^TAX,\ X=CY=\displaystyle\sum_1^r d_iy_i^2,(d_i\ne0)\Rightarrow r=r(A)$

在复数域中

$\begin{cases}y_i=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d_i}}z_i,1\le i\le r\\\\ y_i=z_i,r+1\le i\le n\end{cases}$

则可以化作唯一的规范型

$f=z_1^2+z_2^2+...+z_r^2$

在实数域中

$f=X^TAX=d_1y_1^2+...+d_py_p^2-(d_{p+1}y_{p+1}^2+...+d_ry_r^2)$

$令：z_i = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{d_i}}y_i$

则可以化作实数域内的规范型

$f=z_1^2+...+z_p^2-(z_{p+1}^2+...+z_r^2)$

惯性定理

$f化作标准型，正平方项的项数p唯一，称为正惯性指数$

$实对称阵A，C^TAC=D=(d_i)_{n\times n}中，正数个数p唯一$

$\Rightarrow \forall实二次型f,\exists X=CY,s.t.\ f化为唯一的规范型$

$ 对于\forall实对称阵A,B, A,B合同\iff r(A)=r(B)且p(A)=p(B) $

正惯性指数p求解

• $f=X^TAX,配方法求解标准型，其中正数的个数为p$
• $\exists 正交阵U,U^TAU=\Lambda,用特征值求解，正数特征值为p$

 

正定型

$f=X^TAX，A为实对称二次型，对\forall X\in \Bbb{R}^n\ne\theta,f>0\Rightarrow A正定(A>0)$

$若f(x_1,x_2,...,x_n)=X^TAX正定：$

• $f的正惯性指数为n/A的n个特征值均为正\Rightarrow A与E_n合同$
• $\exists 可逆实矩阵B,s.t.\ A=B^TB,B=\sqrt{\Lambda}U^T,其中U为正交阵U^{-1}AU=\Lambda$

 

子式

$子式：A的第j_1,j_2,...,j_s行列$

$主子式:A的第k_1<k_2<...<k_s行列$

$顺序主子式\Delta_s：A的第1,2,...,s行列$

$若f(x_1,x_2,...,x_n)=X^TAX正定：（用于判断f是否正定）$

• $\Delta_i>0,1\le i \le n$

 

负定型和半正定型

$若f<0\iff -f>0,(-f)正定\Rightarrow(-1)^k\Delta_k>0,1\le k\le n$

$若f\ge 0\iff f半正定\Rightarrow$

• $正惯性指数p=r$
• $特征值\lambda_i\ge 0$
• $\exists 实矩阵B,s.t.A=B^TB$
• $\forall主子式\ge 0$

 

正定矩阵的性质

$若n阶矩阵A是正定矩阵, 则$

• $A^*>0$
• $|A|>0$
• $\iff A与E合同\Rightarrow \forall 可逆C,C^TAC>0$
• $A^{-1}正定$
• $A_1+A_2正定$
• $A_1\cdot A_2正定\Rightarrow A^k>0$
• $if\ A_1\cdot A_2=A_2\cdot A_1,\ A_1\cdot A_2>0$