似水流年 | 微积分I知识点大纲

微积分好难

基本信息

授课教师： cjh
上课教材： 《微积分》（lxj版）

 

第 0 章 预备知识

实数可由有理数列逼近

$\forall a\in R,\exist\{q_n\}\in Q,s.t.\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}q_n\rightarrow a$

De Morgan定律

$C-(A\cap B)=(C-A)\cup(C-B)$
$C-(A\cup B)=(C-A)\cap(C-B)$

映射
$设f:X\rightarrow Y$

• $\forall x_1,x_2\in X,x_1\ne x_2,s.t.f(x_1)\iff f(x_2)\Rightarrow f为单射/一对一映射，但不一定y都可由x映射到$
• $f(X)=Y\iff f是满射/f是X到Y上的映射，但可能多个x对应一个y$
• $f既是单射又是满射\iff f是双射/一一对应的映射$

函数

• $\arcsin x+\arccos x=\displaystyle\frac{\pi}{2}$
• $\arctan x+\arcctg x=\displaystyle\frac{\pi}{2}$
• $x>0,\ \arctan x+\arctan\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{\pi}{2}$

不等式
$H_n\le G_n\le A_n$

• $H_n=\displaystyle\frac{n}{\displaystyle\frac{1}{a_1}+\displaystyle\frac{1}{a_2}+...+\displaystyle\frac{1}{a_n}}$
• $G_n=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$
• $A_n=\displaystyle\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$

 

第 1 章 数列的极限

收敛的定义
$if\ \exist a\in R,s.t.\forall\varepsilon>0,\exist N\in Z_+,while\ n\ge N,s.t.|a_n-a|<\varepsilon\iff\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\iff while\ n\rightarrow\infty,a_n\rightarrow a$

保号性
$if \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a>0,s.t.\forall p\in(0,a),\exists N>0,while\ n\ge N,a_n>p>0$

• $if\ while\ n\ge N\in Z_+,a_n\ge 0,and\ a_n\rightarrow a\Rightarrow a\ge 0$

极限的四则运算

• 需要保证两者极限都存在
• 只能进行有限次四则运算

单调有界准则

• $(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n<e<(1+\displaystyle\frac{1}{n})^{n+1}$
• $\displaystyle\frac{1}{n+1}<\ln(1+\displaystyle\frac{1}{n})<\displaystyle\frac{1}{n}$

压缩映像

• $|a_{n+1}-A|<r|a_n-A|,0<r<1,n>N\Rightarrow a_n\rightarrow A$
• $|a_{n+1}-a_n|\le r|a_n-a_{n-1}|,0<r<1,n>N\Rightarrow a_n\rightarrow A\in R$

Bolzano-Weierstrass定理
有界数列一定存在收敛子列

Causy准则
$a_n收敛\iff \forall\varepsilon>0,\exist N,while\ m,n>N,|a_m-a_n|<\varepsilon$

• 若n足够大，数列两项之间的差可以任意小，则数列收敛

 

第 2 章 函数的极限

收敛的定义

$f:D\rightarrow R,D\subset R,if\ \exist A\in R,s.t.\forall\varepsilon>0,\exist\delta>0,while\ x\in\mathring{U}(x_0,\delta)\cup D,|f(x)-A|<\varepsilon\iff\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\rightarrow A$

归结原理

• $f:D\subset R\rightarrow R,\exist\mathring{U}(x_0)\subset D,s.t.\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\iff\forall \{x_n\},\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0,x_n\ne x_0,n=1,2,...,\{f(x_n)\}\rightarrow A$
• 归结原理将数列极限的结果引到了函数极限的结果
• 函数极限的不存在，可以由两个收敛到同一个点的不同数列使对应的函数值分别收敛到不同的值来证明

局部保号性

• $if\ \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A>0,\forall p\in(0,A),\exist\delta>0,\forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta),s.t.f(x)>p>0$
• $if\ \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A<0,\forall -p\in(A,0),\exist\delta>0,\forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta),s.t.f(x)<-p<0$

间断点
如果在某一点：

• 左右极限都存在但在某处不连续：一类间断点
  • 左右极限不相等：跳跃间断点
• 极限存在，但极限值不等于函数值或函数值没有定义：二类间断点

一致连续性
$f:I\rightarrow R,if\ \forall\varepsilon>0,\exist\delta>0,s.t.\forall x_1,x_2\in I,while\ |x_1-x_2|<\delta,|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\iff f 在I上是一致连续的$

• 若f满足当两点横坐标之间的距离小于某个值之后，函数值的差可以无限小，则f是一致连续的

常用等价无穷小

• $\sin x\backsim x,\ 1-\cos x\backsim \displaystyle\frac{1}{2}x^2,\ \tan x\backsim x$
• $\ln (x+1)\backsim x$
• $e^x-1\backsim x$
• $(1+x)^\alpha-1\backsim\alpha x$
• $\arcsin x\backsim x,\ \arctan x\backsim x$
• 请用Taylor展开

 

第 3 章 导数与微分

定义

• $y=f(x)在\mathring{U}(x_0)有定义,\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}存 在，则f在x_0处可导$
• $f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

常用导数公式

• $(\tan x)^{\prime}=\sec^2x$
• $(\ctg x)^{\prime}=-\csc^2x$
• $(\sec x)^{\prime}=\sec x\tan x$
• $(\csc x)^{\prime}=-\csc x\ctg x$
• $(\arcsin x)^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\arccos x)^{\prime}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\arctan x)^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$
• $(\arcctg x)^{\prime}=-\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$
• $\arctan x+\arctan y=\arctan\displaystyle\frac{x+y}{1-xy}$

高阶导数

$若f^{(n)}(x)在x_0处存在\Rightarrow f^{(n-1)}(x)在x_0处连续，在\mathring{U}(x_0)有定义$

• $f(x)=\sin x,\ f^{(n)}=\sin(x+\displaystyle\frac{n\pi}{2})$
• $f(x)=\cos x,\ f^{(n)}=\cos(x+\displaystyle\frac{n\pi}{2})$

$(uv)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\\\ k\end{pmatrix}u^{n-k}v^{(k)}$

微分

$f在x_0处可微\iff f在x_0处可导$

$y=f(g(x)),dy=f^\prime(g(x))g^\prime(x)dx=f^\prime(u)du,u=g(x)$

 

第 4 章 微分中值定理及导数应用

• $费马定理：设x_0是f的极值点且f在x_0处可微\Rightarrow f^\prime(x_0)=0$
• $罗尔定理：如果f满足在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)=f(b)\Rightarrow至少存在一个\xi\in(a,b),s.t.f^\prime(\xi)=0$
• $拉格朗日中值定理：如果f满足在[a,b]连续，在(a,b)可导\Rightarrow至少存在一个\xi\in(a,b),s.t.f^\prime(\xi)=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}or\ f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)$
• $柯西中值定理：如果f,g满足在[a,b]连续，在(a,b)可导,且g^\prime在(a,b)内不存在零点\Rightarrow至少存在一个\xi\in(a,b),s.t.\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\displaystyle\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}$

洛必达法则

$f,g在x_0某去心邻域\mathring{U}(x_0)内可导，且g^\prime\ne 0,如果\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0,\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}\displaystyle\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=A/\infty\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}\displaystyle\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=A$

• $可用的不定式：\displaystyle\frac{0}{0},\displaystyle\frac{*}{\infty}$

泰勒定理

$设f在x_0处n阶可导：f(x)=T_n(x)+R_n(x)$

• $泰勒多项式T_n(x) = f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\displaystyle\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\displaystyle\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
• $泰勒余项R_n(x)有多种表达式$
  • $皮亚诺余项P_n(x)=o((x-x_n)^n)$
  • $拉格朗日余项L_n(x)=\displaystyle\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},\xi=x_0+\theta(x-x_0)\in(a,b),\theta\in(0,1)$

常用x=0处的带皮亚诺余项的泰勒公式

• $e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+...+\displaystyle\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
• $\sin x=x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}-...+(-1)^{n+1}\displaystyle\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})$
• $\cos x=1-\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}-...+(-1)^{n}\displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$
• $\tan x=x+\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{2x^5}{15}+o(x^5),proof:\sin x=\cos x\tan x对应系数法$
• $\arcsin x=x+\displaystyle\frac{1}{6}x^3+\displaystyle\frac{3}{40}x^5+o(x^5)$
• $\arccos x=x-\displaystyle\frac{1}{3}x^3+\displaystyle\frac{1}{5}x^5-\displaystyle\frac{1}{7}x^7+o(x^7)$
• $\ln(1+x)=x-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{3}-...+(-1)^{n-1}\displaystyle\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
• $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

凹凸性
$上凹\iff f^{\prime\prime}\ge0$
$下凹\iff f^{\prime\prime}\le0$

渐近线
不要忘记水平/垂直渐近线

曲率
$曲率K(x)=\displaystyle\frac{|f^{\prime\prime}(x)|}{[1+(f^\prime(x))^2]^{3/2}}$
$半径R=\displaystyle\frac{1}{K}$
$横坐标\xi=x-\displaystyle\frac{f^\prime(x)[1+(f^\prime(x))^2]}{f^{\prime\prime}(x)}$
$纵坐标\eta=y+\displaystyle\frac{1+(f^\prime(x))^2}{f^{\prime\prime}(x)}$

 

第 5 章 不定积分

基本积分公式

• $\displaystyle\int0dx=C$
• $\displaystyle\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha\ne-1)$
• $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C$
• $\displaystyle\int\alpha^xdx=\frac{\alpha^x}{\ln\alpha}+C(\alpha>0,\alpha\ne 1)$
• $\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C$
• $\displaystyle\int\sin xdx=\cos x+C$
• $\displaystyle\int\sec^2xdx=\tan x+C$
• $\displaystyle\int\csc^2xdx=\ctg x+C$
• $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$
• $\displaystyle\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
• $\displaystyle\int\sec x\tan xdx=\sec x+C$
• $\displaystyle\int\csc x\ctg xdx=-\csc x+C$

常见凑微分公式

• $dx=\displaystyle\frac{1}{a}d(ax+b)$
• $e^xdx=d(e^x)$
• $\displaystyle\frac{dx}{x}=d(\ln x)$
• $\displaystyle xdx=\frac{1}{2}d(x^2)=\frac{1}{2}d(x^2\pm a^2)=-\frac{1}{2}d(a^2-x^2)$
• $\sin xdx=-d(\cos x)$
• $\cos xdx=d(\sin x)$
• $\sec^2xdx=d(\tan x)$
• $\sec x\tan xdx=d(\sec x)$
• $\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}=d(\arctan x)$
• $\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=d(\arcsin x)$
• $\displaystyle\frac{dx}{2\sqrt{x}}=d(\sqrt{x})$

基本积分公式

• $\displaystyle\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$
• $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
• $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$
• $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$
• $\displaystyle\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C$
• $\displaystyle\int\ctg xdx=\ln|\sin x|+C$
• $\displaystyle\int\sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C$
• $\displaystyle\int\csc xdx=-\ln|\csc x+\ctg x|+C$
• $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
• $\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C$
• $\displaystyle\int\sqrt{x^2\pm a^2}=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}+\frac{a^2}{2}\ln(x+\sqrt{x^2\pm a^2})+C$
• $\displaystyle\int\sec^3xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C$

常见积分变换 有根号去根号

• $\sqrt{ax+b}=u$
• $\sqrt{a^2-x^2},x=a\sin u$
• $\sqrt{x^2+a^2},x=a\tan u$
• $\sqrt{x^2-a^2},x=a\sec u$
• $\sqrt{e^x+1}=u$
• $\sqrt{\displaystyle\frac{ax+b}{cx+d}}=u$
• $x=\displaystyle\frac{1}{u},dx=-\frac{1}{u^2}du$

分部积分法

$\displaystyle\int uv^\prime dx=uv-\int vu^\prime dx$
$\displaystyle\int udv=uv-\int vdu$

• 幂指型
  • $\displaystyle\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C$
  • $\displaystyle\int x^2e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}x^2e^{-2x}-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+C$
• 幂三角型
  • $有关\sin^2x,\cos^2x,可利用倍角公式降幂$

有理分式函数
$R(x)=\displaystyle\frac{P_n(x)}{Q_m(x)},Q_m=q_0(x-a_1)^{k_1}...(x-a_t)^{k_t}(x^2+p_1x+q_1)^{l_1}...(x^2+p_sx+q_s)^{l_s},R(x)=...=\varepsilon_1\int\frac{dx}{x-a}+\varepsilon_2\int\frac{dx}{(x-a)^n}+\varepsilon_3\int\frac{dx}{x^2+a^2}+\varepsilon_4\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}(n\ge2,a>0,a为分母的根，n即为1～重根数)$

• $I_n=\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}=\frac{1}{2(n-1)a^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^2}I_{n-1}$
• $I_1=\displaystyle\frac{1}{a}\arctan x\frac{x}{a}+C$

三角有理分式函数

• $万能公式\begin{cases}\sin2x\\\\\cos2x\end{cases}\Rightarrow\tan x,令u=\tan\displaystyle\frac{x}{2},底裤方法$

misc

• $\displaystyle\int\frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}dx=\frac{x}{x-\ln x}+C$
• $I=\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^4},J=\displaystyle\int\frac{x^2}{1+x^4}dx$
  • $I+J=\displaystyle\int\frac{1+x^2}{1+x^4}dx=...$
  • $I-J=...$
• $\displaystyle\int\frac{dx}{\sin(x+a)\cos(x+b)}=\frac{1}{\cos(a-b)}\int\frac{\cos((x+a)-(x+b))}{\sin(x+a)\cos(x+b)}dx=...,(a\ne b)$

隐函数的不定积分

• $齐次变换，把y表示为x的函数$

 

第 6 章 定积分

$范数\lambda=||T||,\ \lambda=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\{x_i\},\ T=\{x_i\}(x_i为对曲边梯形的分割)$
$黎曼和\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$
$黎曼积分\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\lim_{\lambda\rightarrow0^+}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$

定积分定义
$f(x)为[a,b]上的有界函数$

• 分割
  $任意插入n-1个分点a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_n=b,\ 定义T,\ \lambda$
• 取点
  $任取介点\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$
• 作和
  $黎曼和\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\overset{def}=S(f,T,\xi)$
• 求极限
  $若\displaystyle\lim_{\lambda\rightarrow0^+}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i存在，则f在区间内可积$

几何意义
$\displaystyle\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi}{4}a^2,\ (a>0),\ 四分之一圆的面积$

性质
不定积分的可积与定积分的可积意义不同

• 闭区间，连续一定可积
• 闭区间，有界且只有有限个间断点，可积
• 闭区间，单调一定可积

f(x)在[a,b]内可积

• $f(x)\ge0\Rightarrow\displaystyle\int_a^bf(x)dx\ge0$
• $|\displaystyle\int_a^bf(x)dx|\le\int_a^b|f(x)|dx$
• $m\le f(x)\le M,\ m(b-a)\le\displaystyle\int_a^bf(x)dx\le M(b-a)$

$f(x)在[a,b]上连续\Rightarrow\exist\xi\in(a,b),s.t.\displaystyle\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$

定积分中值定理

$设f(x)在[a,b]连续，则\exists\xi\in(a,b),s.t.\displaystyle\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$

• 存在矩形面积等于曲边梯形
• $\displaystyle f(\xi)=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum^n_{i=1}f(\xi_i)(\frac{\Delta x_i}{b-a})$
• $\displaystyle f(x),g(x)在[a,b]连续，且g(x)不变号, \exists\xi\in(a,b),s.t.\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)d(x)$

变限函数的导数

$\displaystyle f(x)在[a,b]连续，F(x)=\int_a^xf(t)dt在[a,b]可导,F^\prime(x)=f(x)$

• 连续函数一定有原函数
• 被积函数不含自变量x

$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt=\int_{\phi_1(x)}^{a}f(t)dt+\int_{a}^{\phi_2(x)}f(t)dt=...$

定积分中值定理

$设f(x)在[a,b]连续，则\exists\xi\in(a,b),s.t.\displaystyle\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$

• 存在矩形面积等于曲边梯形
• $\displaystyle f(\xi)=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum^n_{i=1}f(\xi_i)(\frac{\Delta x_i}{b-a})$
• $\displaystyle f(x),g(x)在[a,b]连续，且g(x)不变号, \exists\xi\in(a,b),s.t.\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)d(x)$

变限函数的导数

$\displaystyle f(x)在[a,b]连续，F(x)=\int_a^xf(t)dt在[a,b]可导,F^\prime(x)=f(x)$

• 连续函数一定有原函数
• 被积函数不含自变量x

$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt=\int_{\phi_1(x)}^{a}f(t)dt+\int_{a}^{\phi_2(x)}f(t)dt=...$

微积分学基本公式｜Newton-Leibniz公式

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$

定积分的换元积分

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\phi(t))\cdot\phi^\prime(t)dt=F(\phi(t))|_\alpha^\beta,\ \phi(\alpha)=a,\phi(\beta)=b$

• 换元要换限
• 无需反代$t=\phi^{-1}(x)$

对称区间定积分

$x:[a,b],记u=\displaystyle\frac{a+b}{2}-x:$

$\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^0f(-x)dx+\int_0^af(x)dx=\begin{cases}2\displaystyle\int_0^af(x)dx,f(x)为偶函数\\\\0,f(x)为奇函数\end{cases}$

周期函数的积分

$若f(x)为周期为T的周期函数,\ \displaystyle\int_0^{T}f(x)dx=\displaystyle\int_a^{a+T}f(x)dx为定值$

分部定积分

$\displaystyle\int_a^budv=(uv)\mid_a^b-\int_a^bvdu$

定积分不等式

可积函数组成线性空间，柯西不等式

$f,g在[a,b]上连续,\displaystyle(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\le\int_a^bf^2(x)dx\cdot\int_a^bg^2(x)dx$

反常积分

• 无限区间上的定积分
• 有限区间上无限函数的定积分

$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\rightarrow+\infty}\int_a^bf(x)dx=J$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_a^{+\infty}f(x)dx+\int_{-\infty}^a f(x)dx$

p-积分

$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}dx=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{p-1}&,p>1\\\\+\infty&,p\le1\end{cases}$

瑕积分

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)dx$

伽马函数

$\displaystyle\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx.(s>0)$

• $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$

  • $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=...=n!\Gamma(1)=n!$

• $\Gamma(\displaystyle\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

$Poisson积分/正态分布曲线积分: \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\displaystyle-\frac{x^2}{2}}dx=1$

$余元公式: \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin(\pi s)}.(0<s<1)$

旋转体的体积

$y=f(x),x=a,x=b围成的曲边梯形D$

• $V_x=\pi\displaystyle\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}x$
• $V_y=2\pi\displaystyle\int_a^b|x\cdot f(x)|\mathrm{d}x$

平面曲线的弧长

$s=\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{[x^\prime(t)]^2+[y^\prime(t)]^2}\mathrm{d}t$

• $C:y=f(x)\Rightarrow s=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x$
• $C:r=r(\theta)\Rightarrow s=\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{[r^\prime(\theta)]^2+[r(\theta)]^2}\mathrm{d}\theta$

旋转体的侧面积

$S=2\pi\displaystyle\int_\alpha^\beta|y(t)|\mathrm{d}s=2\pi\displaystyle\int_\alpha^\beta|y(t)|\sqrt{[x^\prime(t)]^2+[y^\prime(t)]^2}\mathrm{d}t$

• $S=2\pi\displaystyle\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x$

Wallis公式

$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{sin}^mx\mathrm{d}x=\begin{cases}\displaystyle\frac{(m-1)!!}{m!!}&,m=2k-1\\\\\displaystyle\frac{(m-1)!!}{m!!}\cdot\frac{\pi}{2}&,m=2k\end{cases}$