似水流年 | 微积分II知识点大纲(一)

微积分好难

基本信息

授课教师： bwh
上课教材： 《微积分》（sdk版）
常见积分公式

 

第 11 章 级数

级数的基本概念

$数项级数无穷和S=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$

$无穷多个有理数相加的和的情况都有可能$

$收敛\iff\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\sum_{n=1}^\infty u_n\rightarrow S$

证明级数收敛性的方法

• 定义
• 单调收敛准则
• 柯西收敛准则

$几何级数/等比级数\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}=S_n$

• $|q|<1:\ S_n\rightarrow\displaystyle\frac{a}{1-q}$
• $q\ge 1:\ S_n\rightarrow\infty$
• $q<-1:\ S_n不存在$

$p-级数\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$

$引入f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^p}(x>0),有\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)^p}=-1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^p}$

1. 性质1: $如果\sum u_n=A,\sum v_n=B, 则对于\forall\alpha,\beta,\sum(\alpha u_n+\beta v_n)=\alpha A+\beta B$

2. 性质2: 改变，去掉，增加级数的有限项，不影响级数的收敛性

3. 性质3: 若级数收敛，则加法的结合律成立

4. 性质4: $\sum u_n收敛\Rightarrow\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$

 

正项级数的收敛性

$正项级数:\ u_n\ge 0$

1. 上界收敛法

2. 比较判别法
   $设\sum u_n,\sum v_n正项级数,\ u_n\le Cv_n(C>0)$

   1. $\sum v_n收敛\Rightarrow\sum u_n收敛$
   2. $\sum u_n发散\Rightarrow\sum v_n发散$
      $n>e^{e^{e^2}},\ln \ln \ln n>n$

3. 比较判别法的极限形式
   $设正项级数\sum u_n,\sum v_n,\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{u_n}{v_n}=l$

   1. $0<l<+\infty,同时收敛或发散$
   2. $l=0,\sum v_n收敛\Rightarrow\sum u_n收敛$
   3. $l=+\infty,\sum v_n发散\Rightarrow\sum u_n发散$

   $结论:\sum\displaystyle\frac{\ln n}{n^p}$
   1. $p> 1,收敛$
   2. $p\le 1,发散$

   估算上下限，收敛或发散看上或下限
   等价量替换不够用，我们用带Peano余项的Taylor公式

4. 自力更生法/比值判别法
   $正项级数\sum u_n,\lim\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\gamma(or +\infty)$

   1. $\gamma<1,收敛$
   2. $\gamma>1,发散$
   3. $\gamma=1,[undefined]$

5. 根值判别法
   $正项级数\sum u_n,\lim\displaystyle\sqrt[n]{u_n}=\gamma(or +\infty)$

   1. $\gamma<1,收敛$
   2. $\gamma>1,发散$
   3. $\gamma=1,[undefined]$

6. ~积分判别法~
   $f(x)在[1,+\infty]上递减的非负连续函数,u_n=f(n)\Rightarrow\displaystyle\sum u_n与\int_1^{+\infty}f(x)敛散性相同$

 

一般级数收敛性

交错级数

$如果u_n>0,那么\sum(-1)^{n-1}u_n为交错级数$

莱布尼茨定理

$如果\sum(-1)^{n-1}u_n:$

$(1)u_1\ge u_2\ge u_3\ge …;$

$(2)\lim u_n=0,$

$那么\sum(-1)^{n-1}u_n收敛, S\le u_1$

$推论: 误差/余项|R_n|=|S-S_n|\le u_{n+1}$

tips 先连续化，再求导

Dirichlet判别法

$如果\{a_n\}单调且\lim a_n=0,\sum b_n部分有界,那么\sum a_nb_n收敛$

Abel判别法

$如果\{a_n\}单调有界,\sum b_n收敛,那么\sum a_nb_n收敛$

 

绝对收敛

$如果\sum|u_n|收敛,那么\sum u_n收敛$

$设\sum u_n:$

• $如果\sum|u_n|收敛,那么\sum u_n绝对收敛$
• $如果\sum|u_n|发散,\sum u_n收敛,那么\sum u_n条件收敛$

 

幂级数的收敛性和运算

$幂级数\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2+...+ a_nx^n + ...$

Abel 定理

• $若\ \sum a_nx^n在x=x_0收敛,则对\forall x:|x|\gt x_0,\sum a_nx^n发散;$
• $若\ \sum a_nx^n在x=x_0收敛,则对\forall x:|x|\lt x_0,\sum a_nx^n绝对收敛$

1. $收敛半径:R$
2. $收敛区间:(-R,R)$
3. $在x=\pm R 可能收敛也可能发散$

 

柯西-阿达马定理

$级数\sum a_nx^n,若\lim\displaystyle\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=R,或\lim\frac{1}{\sqrt{|a_n|}}=R,则R为收敛半径$

tip $|x-x_0|\lt R^\star 绝对收敛\Rightarrow 收敛半径 R\ge R^\star;附加上条件|x-x_0|>R^\star 发散\Rightarrow 收敛半径R=R^\star$

 

引理

$若幂级数\sum a_nx^n收敛半径为R$

1. $级数在收敛域上的和S(x)是连续函数$
2. $幂级数在(-R,R)上可导/可积,且导函数或奇函数会继承收敛半径R,不一定继承收敛域(端点可能失去继承)$

 

唯一性定理

$a_0 = S (0)$

$a_n = \displaystyle\frac{S^{(n)}(0)}{n!}$

 

幂级数的运算法则

$设幂级数\sum a_nx^n,\sum b_nx^n收敛半径分别是R_a,R_b$

1. $\sum a_nx^n\pm\sum b_nx^n:R$
2. $(\sum a_nx^n)\cdot(\sum b_nx^n):R$

$其中R=\mathrm{min}\lbrace R_a,R_b\rbrace$

tip 和函数的定义域就是收敛域
 

求和函数常用方法

1. 幂级数的线性运算
2. 变量代换
3. 求导再积分
4. 积分再求导

 

函数展成幂级数

泰勒级数

$\lim\displaystyle\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\le\lim\frac{([x]+1)^{n+1}}{(n+1)!}=0$

若泰勒展开的拉格朗日余项趋向于 0, 则原函数等于泰勒级数

 

基本初等函数的幂级数展开

展开步骤

1. 计算 $f^{(n)}(x_0)$
2. 写出对应的泰勒级数 $\displaystyle\sum\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$，求出收敛区间 $|x-x_0|<R$
3. 验证 $\displaystyle\lim R_n(x)=\lim\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=0$ ，其中 $\xi\in(x_0,x),|x-x_0|<R$
4. 验证收敛端点

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x},|x|<1$

其他展开方法

间接求

$\arctan x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},x\in[-1,1]$

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$

$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\frac{1}{\sqrt{n}}$

 

傅里叶展开

傅立叶级数

$1,\sin\displaystyle\frac{m\pi}{l}x,\cos\displaystyle\frac{n\pi}{l}x,...;x\in(-l,l),m,n=\lbrace 1,2,…\rbrace 为正交系$

$$f(x)=(?)\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi}{l}x+b_n\sin\frac{n\pi}{l}x)$$

• $a_n=\displaystyle\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x$

• $b_n=\displaystyle\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x$

$f(x)为傅立叶级数;a_n,b_n为傅立叶系数$

$\Rightarrow f(x)\sim\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi}{l}x+b_n\sin\frac{n\pi}{l}x)$

狄利克雷定理（重点）

$f(x)周期为2l,在[-l,l]上逐段光滑/连续或只有有限个第一类间断点和极值点，则傅立叶级数收敛$

$$\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi}{l}x+b_n\sin\frac{n\pi}{l}x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2},x\in\Bbb{R}$$

$若f(x)在x处连续，则收敛于f(x)$

• $f(x)是奇函数，傅立叶级数是正弦级数$
• $f(x)是偶函数，傅立叶级数是余弦级数$

 

有限区间上的傅立叶展开

区间 $[-l,l]$ 上

1. $f(x),x\in[-l,l]$ 延拓 $\Rightarrow F(x),x\in\Bbb{R},T=2l$
2. 对 $F(x)$ 傅立叶展开，在区间 $(-l,l)$ 上，$f(x)\equiv F(x)$
3. 对于 $x=\pm l$ 处，利用狄利克雷定理算出 $f(x)=\displaystyle\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$ （左端点右极限和右端点左极限的平均值）

若 $f(x)$ 是偶函数，$b_n=0$
若 $f(x)$ 是奇函数，$a_n=0$

推广：区间 $[a,b]$ 上

$T=b-a,l=\displaystyle\frac{b-a}{2}$

不需要坐标平移, 直接把 $l$ 用 $\displaystyle\frac{b-a}{2}$ 代换

 

帕塞瓦尔等式

若 $f(x)$ 可积且平方可积，左式的级数收敛

$$\displaystyle\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf^2(x)\mathrm{d}x$$

 

区间 $[0,l]$ 上

$[0,l]$ 奇偶延拓 $\Rightarrow[-l,l]\Rightarrow…$

1. $f(x),x\in[0,l]$ 奇偶延拓 $\Rightarrow F(x),x\in\Bbb{R},T=2l$
2. 对 $F(x)$ 傅立叶展开，在区间 $(-l,l)$ 上，$f(x)\equiv F(x),x\in(0,l)$
3. 根据延拓的奇/偶性，消去 $a_n/b_n\equiv0$

• 奇延拓 $x=0,f(x)\to0$
• 偶延拓 $x=0,f(x)\to f(x+0);x=l,f(x)\to f(x-0)$