似水流年 | 微积分II知识点大纲(二)

微积分好难

基本信息

授课教师： bwh
上课教材： 《微积分》（sdk版）
常见积分公式

第 7 章 矢量代数与空间解析几何

空间直角坐标系

八个卦限

[图片待补充]

 

矢量的叉积

$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\\ a_1&a_2&a_3\\\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$

$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=\bm{0}$

 

混合积

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}共面\iff \vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})=|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})^T|=0$

混合积的几何意义

$三个矢量组成平行六面体，V_6=|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})|$

$V_4=\displaystyle\frac{1}{6}V_6$

 

平面与直线方程

平面的表示

$P(x_0,y_0,z_0)\in\alpha,\alpha\perp\vec{n},\vec{n}=(A,B,C)\Rightarrow\alpha:A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

$\alpha\perp\vec{n},\vec{n}=(A,B,C)\iff\alpha:Ax+By+Cz+D=0$

• $D=0\iff$ 过原点
• $C=0\iff\alpha\parallel Oz$
• $B=0,C=0\iff\alpha\parallel Oyz$
• $A=0,B=0,D=0\iff\alpha=Oxy$

 

两平面的夹角

等价于法向量的夹角（锐角）

$\theta=<\vec{n}_1,\vec{n}_2>\in[0,\displaystyle\frac{\pi}2{}]$

点到平面的距离

$d=\displaystyle\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

三维勾股定理

$S^2_0=S^2_1+S^2_2+S^2_3$

• $S_0:\Delta ABC$
• $S_1:\Delta OAB$
• $S_2:\Delta OBC$
• $S_3:\Delta OCA$

 

直线方程

$P(x_0,y_0,z_0)\in L,L\parallel\vec{v},\vec{v}=(l,m,n)\Rightarrow L:\displaystyle\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}(=t)$

• $\Rightarrow L:\begin{cases}x=x_0+lt\\\\ y=y_0+mt\\\\ z=z_0+nt\end{cases},(t\in\Bbb{D})$

$P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2)\in L\Rightarrow L:\displaystyle\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{z-z_1}{z_1-z_2}$

$设平面\pi_1,\pi_2,L=\pi_1\cap\pi_2\Rightarrow L:\begin{cases}\pi_1\\\\\pi_2\end{cases}$

• $取\vec{n}_1\perp\pi_1,\vec{n}_2\perp\pi_2\Rightarrow \vec{v}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2$

 

平面与直线的关系

直线的夹角

锐角

直线与平面的夹角

交角：$|\displaystyle\frac{\pi}2-\theta|,\theta=<\vec{n},\vec{v}>\in[0,\pi)$

点到直线的距离

$已知P\notin L,L:$

• $\forall P_0\in L,d=h=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{P_0P}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}$
• $P\in\alpha,L\perp\alpha,联立得M,d=|PM|$