似水流年 | 微积分II知识点大纲(二)

微积分好难

基本信息

授课教师： bwh
上课教材： 《微积分》（sdk版）
常见积分公式

第 8 章 多元函数微分学

多元函数的极限与连续性

二元函数的连续与极限

$a=\displaystyle\lim_{x\to x_o}\lim_{y\to y_o}f(x,y),b=\lim_{y\to y_o}\lim_{x\to x_o}f(x,y), c=\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)\Rightarrow a=b=c$

偏导数与全微分

全微分的概念

$全增量\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$

$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0$

$(x,y)处全微分\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y$

1. 可微则连续
2. 可微，则偏导存在，且$A=f^\prime_x(x,y),B=f^\prime_y(x,y)$
   $\mathrm{d}z=f^\prime_x(x,y)\mathrm{d}x+f^\prime_y(x,y)\mathrm{d}y,(x,y)\in\Bbb{D}$

不可微的充分条件

• 不连续
• 至少一个偏导不存在
• 偏导存在，但是$\displaystyle\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\frac{(A\Delta x+B\Delta y)-\Delta z}{\rho}$不存在

（可微的充分条件）若函数$f$的两个偏导数在$(x_0,y_0)$连续，则$z=f(x,y)$在该点处可微

全增量公式 $\Delta z=f^\prime_x(x,y)\mathrm{\Delta}x+f^\prime_y(x,y)\mathrm{\Delta}y+\varepsilon_1x+\varepsilon_2y$